 | chenter |
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Pierre de Fermat (1601-1665) es autor de una conjetura que probablemente demostró y es conocida como Teorema de Fermat.
En su obra “Introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales”, contemporánea de la “Geometría de Descartes”, Fermat aborda la tarea de reconstruir los “Lugares Planos de Apolonio”, describiendo- alrededor de 1636- fundamentos de la geometría analítica. Fermat se destaca en la teoría de números.
Deja muchas proposiciones sin demostrar pero los matemáticos logran demostrar casi todas antes del siglo XX.
El teorema conocido como el último teorema de Fermat, define que para n como potencia mayor que 2 no es posible la siguiente ecuación: xn + yn = zn.
El teorema de Pitágoras es el primero, sino el único, que estudiamos- hasta entenderlo- en nuestra escolaridad básica.
“De todos los vínculos entre los números y la naturaleza estudiados por Pitágoras, el más importante es la relación que lleva su nombre. El teorema de Pitágoras nos suministra una ecuación que es verdadera para todos los triángulos rectángulos y que por tanto sirve también para definir el ángulo recto. A su vez, el ángulo recto define la perpendicular, es decir, la relación de la vertical con la horizontal, y, en última instancia, la relación entre las tres dimensiones del universo que nos es familiar. Las matemáticas, a través del ángulo recto, definen la estructura misma del espacio en que vivimos” (Simon Singh en “El último teorema de Fermat”, Ed. Norma).
Consideremos que en un triángulo rectángulo se mide la longitud de sus dos lados cortos o catetos “x” e “y”. Si se calcula el cuadrado de cada uno (x2, y2) y se suman, se obtiene como resultado un número idéntico al resultado de calcular el cuadrado de la longitud del lado “z” del triángulo (el más largo o hipotenusa) que pasa a ser z2.
Si “x”= 3; “y”= 4; “z”= 5
será x2 + y2 = z2
y así 9 + 16 = 25.
El enunciado del teorema es: “En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados”.
Así x2 + y2 = z2 (En un… la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa).
Pitágoras demuestra la validez universal de este teorema. Desde tiempos remotos los chinos y babilonios usan esta relación para algunos triángulos, pero- hasta Pitágoras- se desconoce la razón matemática con que abarca a todo triángulo rectángulo.
El teorema de Fermat establece que para n>2 no hay números naturales que cumplan la propiedad anterior. Es decir que no se cumple en xn + yn = zn.
Fermat escribe en el margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría- traducida al Latín por Bachet- lo siguiente:
“Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla”.
La nota de Fermat- póstumamente- es descubierta por su hijo Clemente Samuel, quien en 1670 edita este libro con las numerosas notas marginales de Fermat.
En 1994, Andrew John Wiles logra demostrar el teorema de Fermat, recurriendo a las herramientas matemáticas más modernas e incorporando nuevos y muy complejos conceptos.
Las combinaciones de tres números enteros que se ajustan a la ecuación x2 + y2 = z2, se llaman ‘tripletas pitagóricas’, en las que así como “x” es 3, “y” es 4 y “z” es 5; “x” puede ser- en distintas tripletas- 5 ó 99; “y” 12 ó 4.900; “z” 13 ó 4.901. Hay infinidad de tripletas, donde la suma de dos cuadrados de números enteros es igual al cuadrado de otro número entero y que por tanto definen triángulos rectángulos.
Fermat, al observar la ecuación de las tripletas pitagóricas, idea una variante:
x3 + y3 = z3
Encuentra que la ecuación propuesta no tiene solución en números enteros. En un ejemplar del Libro II de aritmética de Diofanto, Fermat escribe en latín la nota cuya traducción Simon Singh actualiza: “Es imposible para un cubo ser escrito como la suma de dos cubos o para una cuarta potencia ser escrita como la suma de dos cuartas potencias o, en general, para cualquier número que sea una potencia mayor que la segunda ser escrito como la suma de dos potencias similares. Tengo una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición pero este margen es muy angosto para contenerla.”
Suponemos que Fermat al imaginar la ecuación xn + yn = zn la considera definiendo un triángulo (donde la suma de las longitudes de dos de sus lados ya potenciados a la n igualen la longitud del otro potenciado a la n) que, a partir del ‘teorema (también para triángulos no rectángulos) del coseno’ (*), es rectángulo y por tanto que para los números enteros de las tripletas pitagóricas esta ecuación debe ser exclusivamente: x2 + y2 = z2.
(*) [Esta propiedad fue investigada por Ghiyath al-Kashi en el siglo XV, por François Viète en el siglo XVII y divulgada con su nombre actual por Leonhard Paul Euler].
Por supuesto, Fermat advierte que, si se potencian al cuadrado sus lados más cortos e hipotenusa, cualquier triángulo rectángulo deja de serlo. En la geometría en que existe idealmente, el triángulo rectángulo desaparece cuando la suma de los catetos iguala la longitud de la hipotenusa.
Las tripletas de Pitágoras coinciden con nuestra realidad natural.
De cumplirse las tripletas de Fermat, no sabemos a que supuesta realidad geométrica corresponderían. Las que serían tripletas de Fermat, corresponden a un “ente de imaginación” (*) que matemáticamente no se cumple.
(*): Los entes de imaginación son materia de especial estudio en “El suicidio: deseo imposible, o la paradoja de la muerte voluntaria en Baruj Spinoza” de Diana Cohen, Ed. Del Signo.Edited by chenter - 27/3/2014, 20:17
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